解答編です。
【5】以下の問を解け。
a = (1,1,2) 、b = (-1,2,1) の時、
| a + t * b | の最小値を求めよ。
その時の定数 t の値も答えよ。
答え)a + t * b
= (1,1,2) + t * (-1,2,1)
= ( 1 - t , 1 + 2*t , 2 + t )
| a + t * b | = ℓ = SQR(ℓ^2)
ℓ^2 = ( 1 - t )^2 + ( 1 + 2*t )^2 * ( 2 + t )^2
= 1 - 2*t + t^2 + 1 + 4*t + 4*t^2 + 4 + 4*t + t^2
= 6*t^2 + 6*t + 6
= 6*(t^2 + t + 1)
1/6 * ℓ^2 = f(t) と置く。
微分して、f'(t) = 2*t + 1
f'(t) = 2*t + 1 = 0 の時、f(t) が最小値。
∴ t = -1/2
ℓ = SQR( 6*(t^2 + t + 1) )
= SQR( 6 * ( 1/4 - 1/2 + 1) )
= SQR( 6 * 3/4 )
= SQR( 9/2 )
= 3/2 * SQR(2)
答えは、t = - 1/2 の時、| a + t * b | = 3 / 2 * SQR(2) となる。
(別解)
t^2 + t + 1 = ( t + 1/2 )^2 - 1/4 + 1
= ( t + 1/2 )^2 + 3/4
t = -1/2 の時、t^2 + t + 1 の最小値 = 3/4 。
ℓ^2 の最小 = 6 * 3/4 = 9/2
∴ ℓ = SQR( 9/2 ) = 3 / SQR(2) = 3/2 * SQR(2)
【6】以下の問を解け。
定数 s、t が、 2*s + 3*t = 1 の式を満たす時、
以下のベクトル p の終点の範囲を図で示せ。p = s * a + t * b
0
/\
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A/_____________________\B
答え)0
/\
/ \
/ \B'
A'/ \
/ \
/ \
/ \
A/_____________________\BOA' = 1/2 * OA となる 点 A' を打つ。
OB' = 1/3 * OB となる 点 B' を打つ。
両点を結んだ線分 A'B' が求める範囲。
(関連)
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20130707/1373240914
※ 試験対策 2013 − 期末試験編 ＜数学B＞
いじょうです。
-
- -
