先日 の続き。
【2】sin(x) の微分を、計算により、求めよ。
微分の定義である、以下の式を使用します。
f(x+h) - f(x)
lim ---------------------
h->0 h
ここで、f(x) = sin(x) となりますので、以下の様になります。
d
--- sin(x)
dxsin(x+h) - sin(x)
= lim ---------------------
h->0 h
これを計算していきます。
sin(x+h) - sin(x)
lim ---------------------
h->0 h
← sin() の和の公式
sin(x)*cos(h) + cos(x)*sin(h) - sin(x)
= lim --------------------------------------------
h->0 h
sin(x)*cos(h) - sin(x) + cos(x)*sin(h)
= lim --------------------------------------------
h->0 h
sin(x)*cos(h) - sin(x) cos(x)*sin(h)
= lim ------------------------ + lim --------------------
h->0 h h->0 h
( cos(h) - 1 ) * sin(x) cos(x)*sin(h)
= lim ------------------------ + lim --------------------
h->0 h h->0 h
( cos(h) - 1 ) * sin(x) sin(h)
= lim ------------------------ + cos(x) * lim --------------------
h->0 h h->0 h
( cos(h) - 1 ) * sin(x)
= lim ------------------------ + cos(x) * 1 ← 前回の公式より
h->0 h
( cos(h) - 1 ) * sin(x) cos(h) + 1
= lim ------------------------ * --------------- + cos(x) * 1
h->0 h cos(h) + 1
( cos^2(h) - 1 ) * sin(x) 1
= lim ------------------------ * --------------- + cos(x) * 1
h->0 h cos(h) + 1
( cos^2(h) - 1 ) 1
= sin(x) * lim ------------------------ * --------------- + cos(x)
h->0 h cos(h) + 1
- sin(h)*sin(h) 1
= sin(x) * lim ------------------------ * --------------- + cos(x)
h->0 h cos(h) + 1
sin(h) (- sin(h) )
= sin(x) * lim ------------------------ * --------------- + cos(x)
h->0 h cos(h) + 1
sin(h)
= sin(x) * (-1) * lim --------------- + cos(x) ← 前回の公式より
h->0 cos(h) + 1 cos(h) + 1 と sin(h) の式に。
0
= sin(x) * (-1) * --------------- + cos(x)
1 + 1
= sin(x) * 0 + cos(x)
= cos(x)
d
よって --- sin(x) = cos(x)
dx
(関連)
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20131119/1384867356
※ 続・試験対策 2013 − 期末試験編 ＜数学III＞
いじょうです。
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