解答編です。
【1】以下の問を解け。
O
/\
a / \ b
/ \
/ ・H \
A/____________\B
c
OA = 5 , OB = 6 , AB = 7 である。
また 点H は △ABC の垂心である。
(1) cos∠AOB を求めよ。
(2) OA=a , OB=b とするとき、
OH を a ,b を用いて表せ。
答え)
(1) cos∠AOB を求めよ。
余弦定理 c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos∠AOB より、
7^2 = 5^2 + 6^2 - 2*5*6*cos∠AOB
cos∠AOB = ( 25 + 36 - 49 ) / ( 2*5*6 )
= ( 61 - 49 ) / ( 2*5*6 )
= 12 / ( 2*5*6 )
= 1/5
(2) OA=a , OB=b とするとき、
OH を a ,b を用いて表せ。
OH = s*a + t*b ( s,t : 定数 ) と表せる。
ここで 点H は垂心なので、
内積 OH*AB = 0 ( ∵ OH⊥AB ) ・・・ (1)
内積 AH*OB = 0 ( ∵ AH⊥OB ) ・・・ (2)
また、AB = - OA + OB
= b - a更に、AH = - OA + OH
= OH - a
= s*a + t*b - a
(1) 式 OH*AB = 0 より、
( s*a + t*b ) * ( b - a ) = 0 ・・・ (1)'
(2) 式 AH*OB = 0 より、
( s*a + t*b - a ) * b = 0 ・・・ (2)'
(1)'式より、
s*a*b - s*a*a + t*b*b - t*b*a = 0
s*a*b*cos∠AOB - s*a*a + t*b*b - t*b*a*cos∠AOB = 0
s*5*6*(1/5) - s*25 + t*36 - t*6*5*(1/5) = 0
-19*s + 30*t = 0 → t = 19/30 * s ・・・ (1)''
(2)' 式より、
( s - 1 )*a*b + t*b*b = 0
( s - 1 )*5*6*(1/5) + t*36 = 0
ここで (1)'' 式を代入。
( s - 1 )*6 + (19/30 * s) * 36 = 0
6*s - 6 + 19*(6/5)*s = 0
6*s + 19*(6/5)*s = 6
s + 19/5 *s = 1
( 5/5 + 19/5 ) *s = 1
s = 5/24
これを (1)'' 式へ代入。
t = 19/30 * s = 19/30 * 5/24 = 19/144
よって、
OH = 5/24*a + 19/144*b
【2】以下の問を解け。A
/\
8 / \ 5
/ \
/ ・I \
B/____________\C
D7
AB = 8 , BC = 7 , CA = 5 である。
また 点I は △ABC の内心である。(各頂角の２等分線の交点。)
(1) AI= x*AB + y*AC
となる x,y を求めよ。
答え)AB:AC = 8:5
また、内心の定義より、
BD:DC = 8:5
である。
よって
8
BD = 7 * ---------
8 + 58*7
= ----
13
ここで、△ABD に注目すると、
AI:ID = BA:BD
である。
8*7
AI:ID = 8: ( --- )
13= 13:7
13
∴ AI = ------ *AD
13+7
内心の定義より、
5*AB + 8*AC
AD = --------------
8 + 55 8
= --- * AB + --- * AC
13 13
13
AI = ------ *AD
13+7
13 5 8
= ---- ( --- * AB + --- * AC )
20 13 131 2
= --- * AB + --- * AC
4 5
よって、x = 1/4 , y = 2/5
(関連)
Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D
> クロス積 - Wikipedia
・・・
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20130530/1369864841
※ 続・試験対策 2013 − 中間試験編 ＜数学II＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20120520/1337522111
※ 続・試験対策 2012 − 中間試験編 ＜数学I＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20100313/1268479254
※ 続・試験対策その２
いじょうです。
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