[表記について]
^ はべき乗記号。* は乗算記号。/ は除算記号。
関数 F は、F' の原始関数。または f の原始関数。
b
∫ は積分記号。∫ と記した場合、a は定積分の下端、b は同じく上端。
a
不定積分の式は、∫f(x)ｄx = F(x) + C (C は積分定数) と表す。
b b
∫ f(x)ｄx = [F(x)] = F(b) - F(a) は、f(x) の定積分。
a a
|f(x)| は、関数 f(x) の絶対値。
問8. 次の関数を微分せよ。
答え)
(1) y = x * ( 3 - 4*x )
y' = 3 - 8*x
(2) y = ( x -2 )*( 2*x + 3 )
y' = 4*x -1
(3) y = ( 2*x + 1 ) * ( 2*x - 1 )
y' = 8*x
(4) y = x * ( x + 1 )^2
y' = 3*x^2 + 4*x +1
問9. 次の関数を [] 内の文字について微分せよ。
答え)
(1) h = 10*t - 5*t^2 [t]
h' = 10 - 10*t
(2) V = 4/3 * π * r^3 [r]
V' = 4 * π * r^2
※ 参考までに、
(1) は、自由落下距離 h → 落下速度 v = h' 、
(2) は、球の体積 V → 球の表面積 S = V' 。
[導関数の応用]
問4. 次の関数の極値を求め、グラフを書け。
答え)
※ グラフ省略。増減表で代替します。
(1) y = 2*x^3 -6*x +1
y' = 6*x^2 - 6
= 6 * ( x^2 - 1 )
= 6 * ( x + 1 ) * ( x - 1 )
y' = 0 の時、x = -1,1
(増減表)
x |・・・ | -1 |・・・| 1 |・・・
------------------------------------------------------
f'(x) | ＋ | 0 | − | 0 | ＋
------------------------------------------------------
f(x) | ／ | 5 | ＼ | -3 | ／
------------------------------------------------------
極大値 極小値
(2) y = -x^3 -3*x^2 +9*x +5
y' = -3*x^2 -6*x + 9
= -3 * ( x^2 + 2*x - 3 )
= -3 * ( x + 3 ) * ( x - 1 )
y' = 0 の時、 x = -3,1
(増減表)
x |・・・ | -3 |・・・| 1 |・・・
------------------------------------------------------
f'(x) | − | 0 | ＋ | 0 | −
------------------------------------------------------
f(x) | ＼ | -22 | ／ | 10 | ＼
------------------------------------------------------
極小値 極大値
問8. 関数 y = -x^3 +3*x^2 +1 について、次の区間における最大値と最小値を求めよ。
答え)
y = -x^3 +3*x^2 +1
y' = -3*x^2 + 6*x
= -3*x*( x - 2 )
y' = 0 の時、x = 0,2
(増減表)
x | -2 |・・・ | 0 |・・・| 1 | 2 |・・・| 3 | 4 |
----------------------------------------------------------------------------------------
f'(x) | − | − | 0 | ＋ | ＋ | 0 | − | − | − |
--------------------------------------------------------------------- ------------------
f(x) | 21 | ＼ | 1 | ／ | 3 | 5 | ＼ | 1 | -15 |
----------------------------------------------------------------------------------------
極小値 極大値
(1) 1 ≦ x ≦ 4
最大値 = 極大値 = 5 ( x = 2 )
最小値 = -15 ( x = 4 )
(2) -2 ≦ x ≦ 3
最大値 = 21 ( x = -2 )
最小値 = 1 = 極小値 ( x = 0,3 )
[積分]
問4. 次の不定積分を求めよ。
答え)
(1) ∫x*(3*x+4)ｄx
= x^3 + 2*x^2 + C ( C は定数、以下同じ。)
(2) ∫(x+1)*(x-1)ｄx
= 1/3 * x^3 - x + C
(3) ∫(x+2)^2ｄx
= 1/3 * x^3 + 2*x^2 + 4*x + C
(4) ∫(4*x+1)*(3*x-2)ｄx
= 4*x^3 - 5/2 * x^2 - 2*x + C
問5. 次の条件を満たす関数 F(x) を求めよ。
答え)
F'(x) = x^2 -2*x -3
F(3) = -2
F(x) = 1/3 * x^3 - x^2 - 3*x + C
F(3) = 1/3 * (3)^3 - (3)^2 - 3*(3) + C = -2
= 9 - 9 - 9 + C = -2
∴ C = 7
∴ F(x) = 1/3 * x^3 - x^2 - 3*x + 7
問6. 次の定積分を求めよ。
答え)
2
(1) ∫ 3*x ｄx
02
= [ 3/2*x^2 ]
0
= 6 - 0
= 6
2
(2) ∫ (4*x -6*x^2)ｄx
12
= [ 2*x^2 -2x^3 ]
1= 8 - 16 - 2 - (-2)
= - 8
1
(3) ∫ (2*x^2 +x)ｄx
-11
= [ 2/3*x^3 + 1/2*x^2 ]
-1
= 2/3 + 1/2 - (-2/3) - 1/2
= 4/3
3
(4) ∫ (x-2)*(x-3)ｄx
23
= [ 1/3*x^3 - 5/2*x^2 + 6*x ]
2
= 9 - 45/2 + 18 - ( 8/3 - 10 + 12 )
= 25 -135/6 - 16/6 = 25 - 151/6 = 150/6 - 151/6
= - 1/6
問7. 次の定積分を求めよ。
答え)
3
(1) ∫ (2*t^2-5*t)ｄt
13
= [ 2/3*t^3 - 5/2*t^2 ]
1
= 18 - 45/2 - ( 2/3 - 5/2 ) = 18 - (45-5)/2 - 2/3 = -2 - 2/3
= - 8/3
0
(2) ∫ (5 -3*t^2)ｄt
-20
= [ 5*t - t^3 ]
-2
= 0 - 0 - { -10 - (-8) } = - ( -10 + 8 )
= 2
問10. 次の定積分を求めよ。
答え)
3 1
(1) ∫ x^2 ｄx + ∫ x^2 ｄx
1 31
= ∫ x^2 ｄx
1
= 0
1 2
(2) ∫ 2*x ｄx + ∫ 2*x ｄx
-2 12
= ∫ 2*x ｄx
-22
= [ x^2 ]
-2= 4 - 4
= 0
問11. 放物線 y = 2*x^2 + 1 と x 軸及び 2直線 x = -1, x = 3 で囲まれた図形の面積を求めよ。
答え)
3
面積 S = ∫ (2*x^2 + 1) ｄx
-1
3
= [ 2/3 x^3 + x ]
-1
= ( 18 + 3 ) - { 2/3*(-1)^3 + (-1) }
= 18 + 3 + 2/3 + 1
= 22 + 2/3
= 68/3
問12. 次の放物線 と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
答え)
(1) y = x^2 + x
x 軸 ⇔ y = 0 ⇔ x = -1,0
0
面積 S = - ∫ (x^2 + x) ｄx
-1
0
= - [ 1/3 x^3 + 1/2 *x^2 ]
-1
= - [( 0 + 0 ) - { 1/3*(-1)^3 + 1/2 * (-1)^2 } ]
= - [ 0 + 1/3 - 1/2 ]
= 1/2 - 1/3
= 1/6
(2) y = ( x - 1 ) * ( x - 3 )
x 軸 ⇔ y = 0 ⇔ x = 1,3
3
面積 S = - ∫ ( x - 1 ) * ( x - 3 ) ｄx
13
S = - ∫ ( x^2 - 4*x + 3 ) ｄx
1
3
= - [ 1/3*x^3 - 2*x^2 + 3*x]
1
= - [( 1/3*27 - 2*9 + 9 ) - ( 1/3 - 2 + 3 ) ]
= - [ 9 - 18 + 9 - 1/3 + 2 - 3 ]
= - [ 0 - 1/3 - 1 ]
= 4/3
問14. 放物線 y = -x^2 + 3*x + 4 と 直線 y = -x + 7 で囲まれた図形の面積を求めよ。
答え)
放物線と直線の交点 ⇔ y = -x^2 + 3*x + 4 = -x + 7
⇔ x^2 - 4*x + 3 = 0
⇔ x = 1,3
区間 1 ≦ x ≦ 3 において、-x + 7 ≦ -x^2 + 3*x + 4 であるから、
3
面積 S = ∫ { ( -x^2 + 3*x + 4 ) - ( -x + 7 ) } ｄx
1
3
= ∫ ( -x^2 + 4*x - 3 ) ｄx
13
= [ -1/3*x^3 + 2*x^2 -3*x ]
1= ( -1/3*3^3 + 2*3^2 -3*3 ) - ( -1/3*1^3 + 2*1^2 -3*1 )
= ( -9 + 18 - 9 ) - ( -1/3 + 2 -3)
= 0 + 1/3 + 1
= 4/3
※ 問12. (2) と同じ。
5
問15. 定積分 ∫ | x - 2 | ｄx を求めよ。
1
答え)
区間 1 ≦ x ≦ 2、2 ≦ x ≦ 5 で分けて考える。
区間 1 ≦ x ≦ 2 では、| x - 2 | = - x + 2 、
区間 2 ≦ x ≦ 5 では、| x - 2 | = x - 2。
よって、
5 2 5
定積分 ∫ | x - 2 | ｄx = ∫ ( - x + 2 ) ｄx +∫ ( x - 2 ) ｄx
1 1 22 5
= [ -1/2*x^2 + 2*x ] + [ 1/2*x^2 - 2*x ]
1 2
= (-1/2*2^2 + 2*2) - (-1/2*1^2 + 2*1) + (1/2*5^2 - 2*5) - (1/2*2^2 - 2*2)
= - 2 + 4 + 1/2 - 2 + 25/2 - 10 - 2 + 4
= 1/2 + 25/2 - 8
= 13 - 8
= 5
問16. 次の等式を満たす関数 f(x) と、定数 a の値を求めよ。
答え)
x
∫ f(t) ｄt = x^2 - 5*x + 2*a
2
与式の両辺を x で微分すると、
ｄ x ｄ
------- ∫ f(t) ｄt = ---- ( F(x) - F(2) )
ｄx 2 ｄxｄ
= f(x) = ---- (x^2 - 5*x + 2*a)
ｄx
= 2*x - 5
x = 2 の時、区間幅が 0 になるので、与式 = 0 = 2^2 - 5*2 + 2*a
よって、a = 3
∴ 関数 f(x) = 2*x - 5 、定数 a = 3
いじょうです。
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