解答編です。
【1】以下の式を微分せよ。
y = { cos(3*x) } ^2
答え)
Z = cos(3*x) と置く。
d
dy/dx = --- ( Z^2 )
dx
d
= 2 * ( Z^1 ) * ( --- Z ) d d
dx ← --- Z = ---- cos(X)
dx dx
= 2 * [ { cos(3*x) } ^1 ] * (3) * { - sin(3*x) }
( 但し X = 3*x )
d
= { - sin(X) } * --- X
= -6 * cos(3*x) * sin(3*x) dx= { - sin(3*x) } * (3)
= -3 * 2 * cos(3*x) * sin(3*x) ← 倍角公式
= -3 * sin(6*x)
【2】以下の定積分を求めよ。
1
∫ ---------------- dx
{ tan(x) }^2
答え)
1 1
--------------- または、-------------- の式へ変形することを考える。
{ sin(x) }^2 { cos(x) }^2
1
与式 = ∫ ------------------------------ dx {cos(x)}^2 {sin(x)}^2
1 ← ------------- + -----------
[ ---------------- - 1 ] {cos(x)}^2 {cos(x)}^2
{ cos(x) }^2 1
= ---------------------------
{cos(x)}^2= 1 + {tan(x)}^2
1
よって {tan(x)}^2 = ---------------- - 1
{ cos(x) }^2
1
= ∫ ------------------------------------ dx
1 - { cos(x) }^2
[ --------------------------- ]
{ cos(x) }^2
{ cos(x) }^2
= ∫ ------------------------ dx
1 - { cos(x) }^2
- [ 1 - { cos(x) }^2 ] 1
= ∫ [ --------------------------- + ------------------------ ] dx
1 - { cos(x) }^2 1 - { cos(x) }^2
1
= ∫ [ -1 + ------------------------ ] dx
1 - { cos(x) }^2
1
= ∫ [ -1 + ------------------------ ] dx
{ sin(x) }^2
← ※1
= - x - -------------------------- + C
tan(x)
d 1
※ ---- [ --------- ]
dx tan(x)
d cos(x) d 1
= ---- [ ------------ ] = ---- [ ---------- * cos(x) ]
dx sin(x) dx sin(x)
← 合成関数の微分公式
1 d d 1
= ---------- * ---- [ cos(x) ] + ---- [ ---------- ] * cos(x)
sin(x) dx dx sin(x)
d
-1 * ---- [ sin(x) ]
1 dx
= ---------- * [ - sin(x) ] + [ ---------------------------- ] * cos(x)
sin(x) { sin(x) }^2
- { sin(x) }^2 - { cos(x) }^2
= --------------------------- + ---------------------
{ sin(x) }^2 { sin(x) }^2
1
= - -----------------
{ sin(x) }^2
両辺を積分する。
d 1 1
∫ ---- [ --------- ] dx = - ∫ ----------------- dx
dx tan(x) { sin(x) }^2
1 1
--------- = - ∫ ----------------- dx
tan(x) { sin(x) }^2
(参考)
d
※2 ---- [ tan(x) ]
dx
d sin(x) d 1
= ---- [ ------------ ] = ---- [ ---------- * sin(x) ]
dx cos(x) dx cos(x)← 合成関数の微分公式
1 d d 1
= ---------- * ---- [ sin(x) ] + ---- [ ---------- ] * sin(x)
cos(x) dx dx cos(x)d
-1 * ---- [ sin(x) ]
1 dx
= ---------- * [ cos(x) ] - [ ---------------------------- ] * sin(x)
cos(x) { cos(x) }^2
{ cos(x) }^2 { sin(x) }^2
= --------------------------- + ---------------------
{ cos(x) }^2 { cos(x) }^2
1
= -----------------
{ cos(x) }^2
両辺を積分する。
d 1
∫ ---- [ tan(x) ] dx = ∫ ----------------- dx
dx { cos(x) }^2
1
tan(x) = ∫ ----------------- dx
{ cos(x) }^2
【3】以下の定積分を求めよ。
∫ { x * (1-x)^4 } dx
答え)
置換積分法を用いる。 t = ( 1-x ) と置く。
これより、x = 1 - t 。 ここでこの式を t で微分する。
dx
------ = -1
dt
よって、(便宜的に)
dx = -1 * dt = -dt
与式 = ∫ [ ( 1 - t ) * t^4 ] ( -dt )
= ∫ [ ( t - 1 ) * t^4 ] dt
= ∫ [ t^5 - t^4 ] dt
= ∫ [ t^5 ] dt + ∫ [- t^4 ] dt
= 1/6 * t^6 - 1/5 * t^5 + C
= 1/6 * ( 1 - x )^6 - 1/5 * ( 1 - x )^5 + C
(関連)
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20140401/1396347580
※ 試験対策 2014 − 春休み補習編 ＜数学III＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20140114/1389701536
※ 続・試験対策 2014 − 実力テスト編 ＜数学B＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20130927/1380258908
※ 続・試験対策 2013 − 中間試験編 ＜数学II＞
いじょうです。
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