回答編です。
＜円と直線＞
問7. 次の円と直線の共有点の座標を求めよ。
(1) x^2 + y^2 = 25, y = x - 1
答え) x^2 + y^2 = 25 に、 y = x - 1 を代入。
x^2 + (x - 1)^2 = 25
これを解いて、x = {4,-3} 。
よって、共有点の座標は
(4,-3)(4,3)と (-3,-4) 。
(2) x^2 + y^2 = 8, y = -x + 4
答え) x^2 + y^2 = 8 に、 y = -x + 4 を代入。
x^2 + (-x + 4)^2 = 8
10
これを解いて、x = 2 。(重解)
よって、共有点の座標は (2,2) 。
問8. 次の円と、直線 y = - x + 2 の共有点の個数を求めよ。
(1) x^2 + y^2 = 1
答え) x^2 + y^2 = 1 に、y = - x + 2 を代入。
x^2 + (- x + 2)^2 = 1
判別式 D = b^2 -4*a*c を求めると、
D = (-4)^2 -4*2*3
= 16-24
= -8 < 0
∴ 共有点はない。
(2) x^2 + y^2 = 2
答え) x^2 + y^2 = 2 に、y = - x + 2 を代入。
x^2 + (- x + 2)^2 = 2
判別式 D = b^2 -4*a*c を求めると、
D = (-4)^2 -4*2*2
= 16-16
= 0
∴ 共有点は１つ。
(3) x^2 + y^2 = 3
答え) x^2 + y^2 = 3 に、y = - x + 2 を代入。
x^2 + (- x + 2)^2 = 3
判別式 D = b^2 -4*a*c を求めると、
D = (-4)^2 -4*2*1
= 16-8
= 8 > 0
∴ 共有点は２つ。
問9. 直線 y = -x + n が、円 x^2 + y^2 = 9 に接するような定数 n を求めよ。
答え) x^2 + y^2 = 9 に y = -x + n を代入。
x^2 + (-x + n)^2 = 9
2*x^2 - 2*n*x + n^2 - 9 = 0
判別式 D = b^2 -4*a*c を求めると、a = 2, b = -2*n, c= n^2 - 9 より、
D = (-2*n)^2 -4*2*(n^2 - 9)
= -4*n^2 + 72
接する場合、D = 0 である。よって、
D = -4*n^2 + 72 = 0 を解いて、n = SQR(18) = ± 3*SQR(2)
∴ n = ± 3*SQR(2)
問10. 次の円の円周上の点 P における、接戦の方程式を求めよ。
(1) x^2 + y^2 = 5、点 P(2,1)
答え) 2*x + 1*y = 5
∴ y = -2*x + 5
(2) x^2 + y^2 = 25、点 P(4,-3)
答え) 4*x - 3*y = 25
4 25
∴ y = ---*x - ---
3 3
(3) x^2 + y^2 = 9、点 P(3,0)
答え) 3*x + 0*y = 9
∴ x = 3
問11. 点 A(2,4) を通り、円 x^2 + y^2 = 4 に接する直線の方程式を求めよ。
答え) 接点を P(x1,y1) とする。このとき、接線の方程式は、
x1*x + y1*y = 4 ・・・ (1)
となる。
これが、点 A(2,4) を通るので、
x1*2 * y1*4 = 4
となる。
よって、
1
y1 = 1 - --- * x1 ・・・ (2)
2接点 P(x1,y1) は、円周上の点でもあるので
x1^2 + y1^2 = 4 ・・・ (3)
(2) を (3) に代入すると、
1
x1^2 + ( 1 - --- * x1 )^2 = 4
2
これを整理して、
5*x1^2 - 4*x1 - 12 = 0
これを解いて、
-6
x1 = {2,---}
5
(2) より、
1
x1 = 2 の時、 y1 = 1 - --- *2 = 0
2
-6 1 -6 8
x1 = --- の時、 y1 = 1 - --- * ( --- ) = ---
5 2 5 5
-6 8
よって接点 P(x1,y1) は、(2,0) 又は、(---,---) である。
5 5
従って、求める接線は２本有り、(1) よりその方程式はそれぞれ、
2 * x + 0 * y = 4
-6 8
--- * x + --- * y = 4
5 5
である。これらより、接線の方程式は、
x = 2 ・・・ 接線1
-3*x + 4*y = 10 ・・・ 接線2
(参考) [検算]
点A(2,4) → 接線1 の x = 2 を満たす。
→ 接線2 の 左辺 = -3*x + 4*y = -3*2 + 4*4 = -6 + 16 = 10 = 右辺 なので満たす。
接点P(2,0) → 接線1 の x = 2 を満たす。
-6 8 -6 8 18 32 50
接点P(---,---) → 接線2 の左辺 = -3*x + 4*y = -3*(---) + 4*(---) = --- + --- = --- = 10 = 右辺 なので満たす。
5 5 5 5 5 5 5
験勉は疲れます・・・。
いじょうです。
-
- -
