続・試験対策 2013 − 中間試験編＜数学II＞ - 取締役平社員ブログ (ベータ版)

解答編です。

【３】傾斜角 15°の坂をまっすぐに 100 m 登る時、鉛直方向に何 m 登ったことになるか。

また、水平方向に何 m 進んだことになるか。但し、1 m 未満を四捨五入せよ。



答え)
鉛直方向に進む距離を y、水平方向に進む距離を x とする。
鉛直方向: y/100 = sin15°、水平方向: x/100 = cos15°である。


この距離の計算には、cos15°と sin15°の値が必要なので、まず、cos15°と sin15°を計算する。 
ここで 15°* 2  = 30°なので、倍角の公式を用いる。




倍角公式より cos(2*θ) = (cosθ)^2  - (sinθ)^2 = 2*(cosθ)^2 - 1 
(cosθ)^2 = { cos(2*θ) + 1 } / 2
θ = 15° とすると 
(cos15°)^2 = ( cos30° + 1 ) / 2


cos30°= SQR(3) / 2 ≒ 1.732 / 2 なので、
(cos15°)^2 = { SQR(3) / 2 + 1 } / 2
cos15°  =  SQR[ { SQR(3) / 2 + 1 } / 2 ]
cos15°  =  SQR[ { 1.732 + 2 } / 4 ]
cos15°  =  SQR[ { 1.732 + 2 } / 4 ]
cos15°  =  SQR( 3.732 ) / 2 


ここで、19*19 = ( 20 - 1 ) * ( 20 - 1 ) = 400 - 40 + 1 = 361 
	 ( ← (x±y)^2 = x^2 ±2*x*y + y^2  )
更に、
192*192 = ( 200 - 8 ) * ( 200 - 8 ) = 40000 - 3200 + 64 = 36864 ＜ 3.732 * 100 * 100
193*193 = ( 200 - 7 ) * ( 200 - 7 ) = 40000 - 2800 + 49 = 37249 ＜ 3.732 * 100 * 100
194*194 = ( 200 - 6 ) * ( 200 - 6 ) = 40000 - 2400 + 36 = 37636 ＞ 3.732 * 100 * 100
ちょっと大きすぎたので、0.5 戻って、
193.5*193.5 = ( 200 - 6.5 ) * ( 200 - 6.5 ) = 40000 - 2600 + ( 36 + 6 + 0.25 ) = 37442.25
よって、SQR( 3.732 ) ≒ 1.93   
	(注) 1.93 ＜ SQR( 3.732 )  、誤差 -0.007 ( ≒ 3.7249 - 3.7321 = -0.0072 ) 

             1.935＞ SQR( 3.732 )  、誤差 0.012  ( ≒ 3.7442 - 3.7321 =  0.0121 )

             1.94 ＞ SQR( 3.732 )  、誤差 0.031  ( ≒ 3.7636 - 3.7321 =  0.0315 )

	     よって 1.93 まで有効桁。


cos15°  ≒ 1.93 / 2 = 0.965  ( 有効桁は三桁。)




同じく倍角公式より sin(2*θ) = 2*sinθ*cosθ
sin30° = 2 * sin15°* cos15°


上記の計算により cos15°≒ 0.965 なので、
sin30° ≒ 2 * sin15°* 0.965  


sin30° = 1/2  なので、
1/2     ≒ 2 * sin15°* 0.965 
sin15° ≒  1/4 * ( 1/0.965 ) =  1 / 3.86  = 0.259 




鉛直方向:
y/100 = sin15°、ここで上記計算より sin15°≒ 0.259 。
よって y/100 = 0.259
y = 100 * 0.259
y = 25.9


水平方向:
x/100 = cos15°、ここで上記計算より cos15° ≒ 0.965 。
x/100 = 0.965
x = 100 * 0.965
x = 96.5




鉛直方向（　　26　　　）m 、水平方向（　　97　　　）m



【８】以下の関数 y の最小値を求めよ。但し、θの変域は [ π/4 ≦ θ ≦ 3/4*π ] とする。


y = 3 * ( sinθ )^2 + 4 * SQR(3) * sinθ*cosθ - ( cosθ )^2



答え)
倍角の公式と合成の公式を使用する。


[倍角公式]
sin(2*θ) = 2*sinθ*cosθ ・・・ (1)


cos(2*θ) = (cosθ)^2  - (sinθ)^2 ・・・ (2) 
↓ (cosθ)^2  + (sinθ)^2 = 1  ( ピタゴラスの定理/三平方の定理 ) 
cos(2*θ) = (cosθ)^2  - (sinθ)^2 = 2*(cosθ)^2 - 1 ・・・ (3) 
cos(2*θ) = (cosθ)^2  - (sinθ)^2 = 1 - 2*(sinθ)^2 ・・・ (4) 


∴ (cosθ)^2 =  { cos(2*θ) + 1 } /2 ・・・ (3)'
∴ (sinθ)^2 =  { 1 - cos(2*θ) } /2 ・・・ (4)'


[合成公式]
a * sinθ + b * cosθ = SQR ( a^2 + b^2 ) * sin(θ+α) 
但し sinα = b / SQR ( a^2 + b^2 ) 、cosα= a / SQR ( a^2 + b^2 )  ・・・ (5) 




上記の公式を用いて、与式を変形する。
与式 y = 3 * ( sinθ )^2 + 4 * SQR(3) * sinθ*cosθ - ( cosθ )^2 に、

 (2)、(3)'、(4)' 式を代入。


y = 3 * [{ 1 - cos(2*θ) } /2]  + 2 * SQR(3) * 2*sinθ*cosθ - [ { cos(2*θ) + 1 } /2 ]
y = 3/2 - 3/2 * cos(2*θ)       + 2 * SQR(3) * sin(2*θ)     - 1/2 * cos(2*θ)  - 1/2 
y = -4/2 * cos(2*θ)            + 2 * SQR(3) * sin(2*θ)  + 2/2


ここで (5) の合成公式を用いて、
y = 2 * { SQR(3) * sin(2*θ)  +  (-1) * cos(2*θ) }  + 1
↓ a = SQR(3) 、b = -1  
y = 2 * { SQR( SQR(3)^2 + (-1)^2 ) } * sin(2*θ+α) ・・・ (5)'


但し、sinα = b / SQR ( a^2 + b^2 ) 
	⇔ sinα= (-1) / { SQR( SQR(3)^2 + (-1)^2 ) } 
	⇔ sinα= - 1/2 
	⇔ α = - π/6  ( 5/6*π )


よって、
y = 2 * 2 * sin(2*θ+α) = 4 * sin(2*θ - π/6) + 1 ・・・ (5)''


(5)'' 式の最小値は、sin(2*θ - π/6)  の最小値を考えれば良い。


ここで θの変域は [ π/4 ≦ θ ≦ 3/4*π ] であるので、これを変形して、


[ 2*π/4 ≦ 2*θ ≦ 2*3/4*π ]


[ 2*π/4 - π/6 ≦ 2*θ - π/6 ≦ 2*3/4*π - π/6 ]


[ 3/6*π - π/6 ≦ 2*θ - π/6 ≦ 9/6*π- π/6 ]


[          π/3 ≦ 2*θ - π/6 ≦ 4/3*π      ]




∴ 2*θ - π/6 = 4/3*π の時に、最小値。


2*θ - π/6 = 4/3*π を (5)'' 式に代入。


最小値は、 y  = 4 * sin ( 4/3*π ) + 1 = 4 * ( -SQR(3)/2 ) + 1 = 1 - 2*SQR(3) 


2*θ - π/6 = 4/3*π から、θ を求めると、


θ = (4/3*π + π/6 ) / 2 = 3/4*π






よって、θ = 3/4*π の時、最小値 y = 1 - 2*SQR(3)  となる。




(注)
変域が、0 ≦ θ ＜ 2*π ならば、y の最小値は y = 4 * (-1) + 1 = -3 
( θ = 5/3*π の時。) 
↑ 2*θ - π/6 = 3/2*π の時、sin 関数の最小値 -1 。



【９】以下の方程式を解け。但し、θの変域は [ 0 ≦ θ ＜ 2*π ] とする。


sinθ + sin(2*θ) + sin(3*θ) = 0



答え)
倍角の公式、三倍角の公式を利用する。


[倍角公式]
sin(2*θ) = 2*sinθ*cosθ ・・・ (1)


cos(2*θ) = (cosθ)^2  - (sinθ)^2 ・・・ (2) 
↓ (cosθ)^2  + (sinθ)^2 = 1  ( ピタゴラスの定理/三平方の定理 ) 
cos(2*θ) = (cosθ)^2  - (sinθ)^2 = 2*(cosθ)^2 - 1 ・・・ (3) 
cos(2*θ) = (cosθ)^2  - (sinθ)^2 = 1 - 2*(sinθ)^2 ・・・ (4) 


[三倍角公式] ( [加法定理] ) 
sin(3*θ) = sin(θ+2*θ) 
sin(3*θ) = sinθ*cos(2*θ) + sin(2*θ)*cosθ
↓ (4) 式、(1) 式 を代入。
sin(3*θ) = sinθ*{1 - 2*(sinθ)^2} + {2*sinθ*cosθ}*cosθ
sin(3*θ) = sinθ*{1 - 2*(sinθ)^2} + 2*sinθ*(cosθ)^2 
↓ (cosθ)^2  + (sinθ)^2 = 1  ( ピタゴラスの定理/三平方の定理 ) 
sin(3*θ) = sinθ*{1 - 2*(sinθ)^2} + 2*sinθ*{1-(sinθ)^2} 
sin(3*θ) = sinθ*{1 - 2*(sinθ)^2  +      2 - 2*(sinθ)^2} 
sin(3*θ) = sinθ*{1 - 2*(sinθ)^2  +      2 - 2*(sinθ)^2} 
sin(3*θ) = sinθ*{3 - 4*(sinθ)^2} ・・・ (5) 


上記の公式を用いて、与式を変形する。
与式 sinθ + sin(2*θ)     + sin(3*θ) = 0 に、(1) 式、(5) 式を代入。
sinθ + 2*sinθ*cosθ + sinθ*{3 - 4*(sinθ)^2} = 0 
sinθ*{1 + 2*cosθ + 3 - 4*(sinθ)^2 }= 0 
↓ (cosθ)^2  + (sinθ)^2 = 1  ( ピタゴラスの定理/三平方の定理 ) 
sinθ*[1 + 2*cosθ + 3 - 4*{1-(cosθ)^2} ]= 0 
sinθ*[1 + 2*cosθ + 3 -4 + 4*(cosθ)^2} ]= 0 
sinθ*[    2*cosθ        + 4*(cosθ)^2} ]= 0 
sinθ*cosθ*(1+2*cosθ)= 0 


よって、sinθ,cosθ,(1+2*cosθ) のいずれかが 0 であれば良い。


sinθ = 0			→ θ = 0,π
cosθ = 0			→ θ = π/2,3/2*π
1+2*cosθ = 0 → cosθ=-1/2	→ θ = 2/3*π,4/3*π






(検算)
θ=0		

	→	sin(0)  + sin(2*0)  + sin(3*0) = 0 + 0 + 0 = 0
θ=π/2		

	→	sin(π/2) + sin(π/2*2) + sin(π/2*3) = 1 + 0 + (-1) = 0
θ=2/3*π	

	→	sin(2/3*π) + sin(2/3*π*2) + sin(2/3*π*3) = SQR(3)/2 + (- SQR(3)/2) + 0 = 0
θ=π		

	→	sin(π) + sin(π*2) + sin(π*3) = 0 + 0 + 0 = 0
θ=4/3*π	

	→	sin(4/3*π) + sin(4/3*π*2) + sin(4/3*π*3) = (- SQR(3)/2) + SQR(3)/2 +  0 = 0
θ=3/2*π	

	→	sin(3/2*π) + sin(3/2*π*2) + sin(3/2*π*3) = (-1) + 0 + 1 = 0






よって、θ = 0,π/2,2/3*π,π,4/3*π,3/2*π