【1】以下の問いを解け。
|OA| = |a| = 3
|OB| = |b| = 2
θ は、ベクトル OA と OB の成す角。
ただし、0 < θ < 2*π 。
OP = t * a
ただし、0 < t < 1 。
OQ = 1/2 * b
AQ と BP の交点を R とする。
A
/
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/ |
P/ |
/\ |
3 / \ |
/ \ |
/ \| R
/ |\
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
/θ | \
O/---------------------|-------------------B
Q2
θ がいかなる値であっても、OR ⊥ AB とはならない場合、
t の取り得る範囲を示せ。※ 原問題は文章のみで図はない。
答え)OR と AB の内積が 0 でなければ良い。
AB = OB - OA であるから、
ベクトル OR を、OA 、 OB 、t の式で表すことを考える。
問題文より、
OP = t * a
OQ = 1/2 * b
ここで、仮に AR : RQ = (1-r) : r とする。
OR = r * OA + (1-r) * OQ
= r * a + (1-r) * 1/2 * b ・・・ (1)
また、同様に PR : RB = s : (1-s) とする。
OR = s * OB + (1-s) * OP
= s * b + (1-s) * t * a ・・・ (2)
※ r 、 s とも、t により一意に決定される定数。
(1)、(2) 式の係数を比較する事により、
r = (1-s) * t ・・・ (3)
s = (1-r) * 1/2 ・・・ (4)
(4) 式 を (3) 式 へ代入すると、
r = { 1 - (1-r)/2 ] * t
= (1+r)/2 * t
r について解くと、
r = t / (2-t)
※ 2*r = (1+r) * t
= r*t + t
2*r - r*t = t
r*(2-t) = t
r = t / (2-t)
(1) 式へ r を代入すると、OR を t の式で表せる。
OR = t / (2-t) * a + [1 - t / (2-t)] * 1/2 * b
= t / (2-t) * a + [ (1-t) / (2-t)] * b
内積 OR・AB ≠ 0 であれば、OR ⊥ AB とはならない。
ここで、
AB = b - a
内積を計算すると、
OR・AB
= [ t / (2-t) * a + { (1-t) / (2-t)} * b ] ・ [ b - a ]
= 1/(2-t) * [ - t * |a|^2
+ (1-t) * |b|^2
+ { -1*(1-t) + t } * a・b ]
= 1/(2-t) * [ - t * 9
+ (1-t) * 4
+ (2*t-1) * |a| * |b| * cosθ ]
= 1/(2-t) * [ - t * 9
+ (1-t) * 4
+ (2*t-1) * 6 * cosθ ]
= 1/(2-t) * [ 6 * (2*t-1) * cosθ - 13*t + 4 ]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ここで便宜上 cosθ = p と置く。 0 < θ < 2*π より、
-1 < p < 1
また、 0 < t < 1 より 1/(2-t) ≠ 0 であるから、
f(p) = 6 * (2*t-1) * p - 13*t + 4
[ -1 < p < 1 ]
のみを考慮し、 f(p) ≠ 0 であれば良い。
[1] ここで t = 1/2 の場合を先に考える。
f(p) = 0*p -13*(1/2) + 4
= - 5/2 ≠ 0
よって、t = 1/2 は可。
[2] 次に 0 < t < 1/2 、 1/2 < t < 1 の場合を考える。
ここで、
f(p) = 6 * (2*t-1) * p - 13*t + 4
[ -1 < p < 1 ]
なる f(p) は、 p の一次関数と考えられる。( t を定数と考える。)
f(p) ≠ 0 となる為には、一次関数 (直線) における
始点と終点の f(p) 値が、ともに 「同じ符合」 であれば良い。
※ 異符号であれば、f(p) = 0 となる点が途中に存在することになる。
※ 始点 ⇔ p = -1 、終点 ⇔ p = 1
始点:
f(-1) = 6 * (2*t-1) * (-1) - 13*t + 4
= -25*t + 10
終点:
f(1) = 6 * (2*t-1) * (1) - 13*t + 4
= - t - 2
さらに、f(1) と f(-1) が同符号であれば、
f(1) * f(-1) ≧ 0
である。
よって、
f(1) * f(-1) = ( -25*t + 10 ) * ( - t - 2 ) ≧ 0
整理して、
( 5*t - 2 ) * ( t + 2 ) ≧ 0
故に、
t + 2 ≦ 0
t + 2 ≧ 0、 5*t -2 ≧ 0
t ≦ -2 、 t ≧ 2/5
ここで問題文より 0 < t < 1 なので、 t ≦ -2 は不適。
よって、
2/5 ≦ t < 1/2 、 1/2 < t < 1
さらに [1] により t = 1/2 も可なので、
2/5 ≦ t < 1
故に、解は 「 t が 2/5 以上、1 未満 」 である。
(関連)
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20140113/1389612007
※ 試験対策 2014 − 実力テスト編 ＜数学B＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20131124/1385290854
※ 続々・試験対策 2013 − 期末試験編 ＜数学III＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20130709/1373365161
※ 続・試験対策 2013 − 期末試験編 ＜数学B＞
いじょうです。
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