解答編です。
以下の公式を使います。
lim [ sin(x) / x ] = 1
x->0※ x ≒ 0 ⇔ x ≒ sin(x)
sin^2(x) + cos^2(x) = 1※ sin^2(x) = ( sin(x) )^2 = sin(x) * sin(x) 、cos^2(x) = ( cos(x) )^2 = cos(x) * cos(x)
lim cos(x) = 1 lim sin(x) = 0
x->0 x->0
答え)
【1】以下の極限を求めよ。
(1)
lim sin(3*x) / (2*x)
x->0
= lim sin(3*x)/(3*x) * (3*x)/(2*x)
x->0
= lim sin(3*x)/(3*x) * lim ( 3/2 )
3*x->0 x->0= 1 * 3/2
= 3/2
(2)lim sin(3*x) / sin(2*x)
x->01
[ -------- ]
sin(3*x) (2*x)
= lim --------------- * (3*x) * ------------------
x->0 (3*x) sin(2*x)
[ ---------- ]
(2*x)
sin(3*x) 1
= lim --------------- * 3 * ------------------ / 2
x->0 (3*x) sin(2*x)
lim [ ---------- ]
x->0 (2*x)= 1 * 1/1 * 3/2
= 3/2
(3)lim x * sin(x) / (cos(x) - 1)
x->0
sin(x)
= lim --------------- * x
x->0 cos(x) - 1
sin(x) * ( cos(x) + 1 )
= lim ------------------------------------ * x
x->0 ( cos(x) - 1 ) * ( cos(x) + 1 )
sin(x) * ( cos(x) + 1 )
= lim ------------------------------------ * x
x->0 ( cos^2(x) - 1 )sin(x) * ( cos(x) + 1 )
= lim ------------------------------------ * x
x->0 sin^2(x)
1 * ( cos(x) + 1 )
= lim ------------------------------------ * x
x->0 sin(x)1
= lim --------------- * ( cos(x) + 1 )
x->0 [ sin(x) / x ]= 1/1 * lim ( cos(x) + 1 )
x->0= 1 * ( 1 + 1 )
= 2
(4)lim sin(2*x) / (cos(x) - 1)
x->0
sin(2*x) ( cos(x) + 1 )
= lim ---------------------- * ------------------
x->0 ( cos(x) - 1 ) ( cos(x) + 1 )
sin(2*x) * ( cos(x) + 1 )
= lim -------------------------------
x->0 ( cos^2(x) - 1 )
sin(2*x) * ( cos(x) + 1 )
= lim -------------------------------
x->0 sin^2(x)sin(2*x) * ( cos(x) + 1 )
= lim -------------------------------
x->0 sin(x) * sin(x)sin(2*x) / (2*x) * 2 ( cos(x) + 1 )
= lim ------------------------------- * -----------------
x->0 sin(x) / x sin(x)1
= 2 * 1/1 * lim ---------------- * ( cos(x) + 1 )
x->0 sin(x)(1/x)
= 2 * lim ---------------- * ( cos(x) + 1 )
x->0 sin(x)/x1
= 2 * lim (1/x) * ---- * ( cos(x) + 1 )
x->0 11
= 2 * lim (1/x) ------ * ( 1 + 1 )
x->0 1= 4 * lim (1/x)
x->0
= ∞
(1) と (2) は、同じ値に収束します。 (4) は無限大に発散してしまいます。
(関連)
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20130927/1380258908
※ 続・試験対策 2013 − 中間試験編 ＜数学II＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20131118/1384736430
※ 試験対策 2013 − 期末試験編 ＜数学III＞
・・・
(追記)
sin(x) / x の極限値公式:lim [ sin(x) / x ] = 1
x->0
この公式を証明してみます。
[公式の証明]
T
/|
/ |
/ |
/ |
B/ |
/ |
/ |
/x |
O/-------- A
1OA = OB = 1 = r 、線分 OA と OB の成す角度を x とする。
ただし、0 < x < π/2 である。
また OA ⊥ AT とする。( ∠OAT = π/2 。 線分 AT は、弧 AB の接線。)
(1) △OAB の面積 = 1/2 * OA * ( OB*sin(x) ) = sin(x)/2
∵ 点B と 線分OA の距離 = △OAB の高さ = OB * sin(x)
x
(2) 扇形 OAB の面積 = π*r~2*------ = x/2
2*π
※ x の単位はラジアン (Radian) 。
a
※ 度 (Degree) では π*r^2*----- の公式。
360
(3) △OAT の面積 = 1/2 * OA * ( OA*tan(x) ) = tan(x)/2
∵ 線分 AT の長さ = OA * tan(x)
３図形の面積を比較すると、(1) < (2) < (3) であるので、
sin(x)/2 < x/2 < tan(x)/2
面積 ( >0 ) の逆数を取ると、不等号の向きが逆になり、
1/sin(x) > 1/x > 1/tan(x)
今、0 < x < π/2 の範囲で考えているので、sin(x) > 0 。
よって sin(x) を乗じても、不等号の向きは同じとなり、
1 > sin(x)/x > cos(x)
極限を取ると、
lim 1 > lim [sin(x)/x)] > lim cos(x)
x->0 x->0 x->0
1 > lim [sin(x)/x] > 1
x->0
よって、以下の式が成り立つ。
lim [ sin(x) / x ] = 1
x->0※ x ≒ 0 ⇔ x ≒ sin(x)
「 充分に角度 x が小さい時、 x = sin(x) と近似が可能。 」
(追記その2)
【2】sin(x) の微分を、計算により、求めよ。
↑【1】 の続きの問いは、こうなります。(w
何故 【1】 の様な極限の問題を解くのかというと、つまりは三角関数の微分をしたいからなんですね。
以下に記載した微分の定義式を使っていきます。
f(x+h) - f(x)
lim ---------------------
h->0 h
問【2】では、f(x) = sin(x) となります。
これを展開していくと、途中で cos(h) - 1 の項が出てきます。
こいつを、発散しない、もしくは Zero Divided にならない cos(h) + 1 と sin(h) の式に変形する必要があるのですね。
いじょうです。
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