解答編です。
(問)放物線 y = a*x^2 ( a > 0 ) と、直線 y = p*x + q ( p < 0 ) を考える。
直線と x軸、y軸の交点を、それぞれ 点A 、点B とする。
放物線上に点C を考え、線分 OA ‖ BC 、同 OB ‖ AC とする。
また放物線と直線の交点を、点D とする。
今、線分 OC = AB であり、点A の座標が A(5,0) であるものとする。
※ SQR() は、平方根。 ^2 は自乗を表す。
設問(1) 放物線と直線の式をそれぞれ求めよ。
(答え)
直線: y = - x + 5
放物線: y = 1/5 * x^2
設問(2)点B、C、D の座標をそれぞれ求めよ。
(答え)
点B(0,5)
点C(5,5)
-5 + 5 * SQR(5) 15 - 5 * SQR(5)
点D( ----------------- , ------------------ )
2 2
(解法)OA ‖ BC 、OB ‖ AC 、OC = AB より四角形 AOBC は正方形。
点A の座標が A(5,0)であるので、点B(0,5) となる。
直線は 2点A,B を通るので、直線の切片 q は 5 、傾き p は -1 となる。
よって、直線の式は、y = - x + 5 である。
四角形 AOBC は正方形であり、点A の座標が A(5,0)であるので、点C(5,5) となる。
点C は放物線上にあるので、これを放物線の式に代入すると、
y = a * x^2 = a * 5^2 = 5 が成立。
a = 1/5 となる。
よって、放物線の式は y = 1/5 * x^2
点D は放物線と直線の交点であるので
y= - x + 5 = 1/5 * x^2 が成立。移項して
1/5 * x^2 + x - 5 = 0 ・・・ [1]
[1]式を、２次方程式の解の公式 (※) により解くと
-5 ±5 * SQR(5)
x= -----------------
2
ここで、与えられた条件により x > 0 であるから、
-5 + 5 * SQR(5)
x = -----------------
2
のみが該当する。
y = - x + 5 より、
15 - 5 * SQR(5)
y = ------------------
2
(検算)放物線の式の方から、
1 -5 + 5 * SQR(5)
y = --- [----------------- ]^2 を計算すると、
5 2
y = 1/5 * 1/4 * [ 25 - 50 * SQR(5) + (5^2) * 5 ]
= 1/20 * [ 25+125 -50 * SQR(5) ]
150 - 50 * SQR(5)
= ---------------------
20
15 - 5 * SQR(5)
= ------------------
2
となって、直線の式から求めた結果と一致する。
※ ２次方程式の解の公式:
２次方程式 a*x^2 + b*x + c = 0 の解は以下の通り。
-b ± SQR( b^2 - 4*a*c )
x = ------------------------------
2*a
(関連)
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20150104/1420382709
※ 試験対策 2015 − 私立高校入試過去問題集編 ＜中学数学＞
http://d.hatena.ne.jp/TsuSUZUKI/20140402/1396425337
※ 続・試験対策 2014 − 春休み補習編 ＜数学III＞
いじょうです。
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